확률과 확률분포
쉽게 말하면
확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 0에서 1 사이 숫자로 나타낸 거예요. 주사위를 아주 많이 던지면 평균적으로 나오는 값이 기댓값이에요. 동전을 열 번 던질 때 앞면 횟수처럼 셀 수 있는 값은 이산형, 키나 대기 시간처럼 연속으로 이어지는 값은 연속형 분포로 다뤄요.
시험용 정의
확률 P(A) 는 0 이상 1 이하이고, 일어날 수 있는 모든 결과(표본공간)의 확률은 1, 여사건의 확률은 1 - P(A) 다. 두 사건이 배반이면 동시에 일어날 수 없어 P(A∩B) = 0 이고, 독립이면 한쪽이 다른 쪽 확률을 바꾸지 않아 P(A∩B) = P(A) × P(B) 다. B 가 일어났을 때 A 의 확률인 조건부 확률은 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 이며, 이를 이용해 사전확률을 새 정보로 고쳐 사후확률을 구하는 것이 베이즈 정리다. 확률변수가 가질 수 있는 값과 그 확률을 정리한 것이 확률분포이고, 값이 띄엄띄엄하면 이산형(확률질량함수 PMF), 연속이면 연속형(확률밀도함수 PDF)이다. 기댓값 E(X) = Σ x·P(x) 는 분포의 평균이다.
비유로 이해하기
배반은 '같은 날 같은 시각에 서울과 부산에 동시에 있기'처럼 함께 일어날 수 없는 관계다. 독립은 '내가 우산을 챙기는 것과 옆 반 친구의 시험 점수'처럼 서로 아무 영향이 없는 관계다. 둘은 다른 말이다. 서울에 있으면 부산에 있을 수 없다는 정보를 주므로 배반인 두 사건은 오히려 서로 영향을 준다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 표본공간 | 일어날 수 있는 모든 결과의 모음. 확률 1 |
| 여사건 | A 가 일어나지 않는 사건. 확률 1 - P(A) |
| 확률변수 | 결과에 숫자를 붙인 것. 동전 세 번에서 앞면 수 X |
| PMF | 이산형에서 각 값의 확률. 0 과 1 사이 |
| 연속형에서 확률의 밀도. 넓이가 확률이고 함숫값 자체는 1 을 넘을 수도 있다 |
배반과 독립
| 배반 | 독립 | |
|---|---|---|
| 뜻 | 동시에 일어날 수 없음 | 서로 확률에 영향 없음 |
| 식 | P(A∩B) = 0 | P(A∩B) = P(A) × P(B) |
| 합집합 | P(A∪B) = P(A) + P(B) | P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) |
| 관계 | 확률이 0 보다 큰 두 사건이 배반이면 독립이 아니다 | 독립인 두 사건은 배반이 아닐 수 있다 |
조건부 확률 예
학생 10명 중 남학생 5명, 그중 사과를 좋아하는 남학생 3명이라면 '남학생일 때 사과를 좋아할 확률'은 P(사과 ∩ 남) / P(남) = (3/10) / (5/10) = 3/5 다. 분모가 전체 10명이 아니라 조건인 남학생 5명이 된다.
기댓값과 분산
| 식 | 뜻 |
|---|---|
| E(X) = Σ x·P(x) | 값마다 확률을 곱해 더함 |
| Var(X) = E(X²) - [E(X)]² | 제곱의 평균 - 평균의 제곱 |
| E(aX + b) = aE(X) + b | 평균은 그대로 변환 |
| Var(aX + b) = a²Var(X) | 더한 b 는 영향 없음 |
이산형 분포
| 분포 | 무엇을 세나 | 평균·분산 |
|---|---|---|
| 베르누이 | 성공·실패 한 번 | p, p(1 - p) |
| 이항 | n 번 독립 시행 중 성공 횟수 | np, np(1 - p) |
| 포아송 | 일정 시간·공간에서 드물게 일어나는 사건 수 | 평균 = 분산 = λ |
| 기하 | 첫 성공까지 걸린 시행 횟수 | |
| 초기하 | 비복원으로 뽑을 때 성공 개수 | |
| 다항 | 결과가 셋 이상인 시행의 각 결과 횟수 |
연속형 분포
| 분포 | 쓰임 |
|---|---|
| 균일 | 구간 안의 모든 값이 같은 밀도 |
| 정규 | 평균 중심 좌우 대칭 종 모양. ±1σ 약 68%, ±2σ 약 95%, ±3σ 약 99.7% |
| t | 모분산을 모를 때 평균 검정. 정규보다 꼬리가 두껍고 자유도가 커지면 정규에 가까워짐 |
| 카이제곱 | 분산 검정, 범주형 적합도·독립성 검정. 0 이상, 오른쪽 꼬리 |
| F | 두 분산의 비. 분산분석, 회귀 모형 검정 |
| 지수 | 사건과 사건 사이의 대기 시간 |
시험에 이렇게 나와요
- 독립이면 동시에 일어날 확률은 곱 (합이라 하면 틀림), 배반이면 0
- 독립인 두 사건의 확률 합 = 합집합 확률은 틀림 (교집합을 빼야 함)
- 배반사건은 독립이 아닐 수 있고, 독립사건은 배반이 아닐 수 있다
- PDF 값은 1 을 넘을 수 있음, PMF 값은 0~1
- 기댓값 계산: Σ x·P(x) (예: 1·1/6 + 2·1/2 + 3·1/3 = 13/6)
- 지수분포는 연속형. 이항·초기하·기하·포아송은 이산형
- 교차표에서 조건부 확률: 분모가 조건 집단
확인 문제
Q1. 두 사건 A, B 가 서로 독립이고 P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 다. A 와 B 가 동시에 일어날 확률은?
- 0
- 0.1
- 0.2
- 0.9
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3번 0.2
독립이면 곱한다. 0.5 × 0.4 = 0.2. 더하는 것(0.9)은 확률의 곱이 아니고, 0 은 배반일 때다.
Q2. X 가 1, 2, 3 을 각각 확률 0.2, 0.5, 0.3 으로 가질 때 E(X) 는?
- 1.9
- 2.0
- 2.1
- 6
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3번 2.1
0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
Q3. 다음 중 연속형 확률분포는?
- 기하분포
- 이항분포
- 지수분포
- 포아송분포
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3번 지수분포
지수분포는 대기 시간 같은 연속형 값을 다룬다.
Q4. P(A) = 0.3, P(B) = 0.5 이고 A, B 가 배반일 때 P(A∪B) 는?
- 0.15
- 0.5
- 0.65
- 0.8
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4번 0.8
배반이면 교집합이 0 이라 그냥 더한다.
Q5. n = 20, p = 0.1 인 이항분포의 분산은?
- 0.09
- 1.8
- 2
- 18
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2번 1.8
np(1 - p) = 20 × 0.1 × 0.9 = 1.8. 평균은 2.
Q6. 확률에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
- 두 사건이 독립이면 동시에 일어날 확률은 두 확률의 합이다
- 여사건의 확률은 1 - P(A) 다
- 두 사건이 배반이면 동시에 일어날 확률은 0 이다
- 사전확률로 사후확률을 구하는 것이 베이즈 정리다
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1번 두 사건이 독립이면 동시에 일어날 확률은 두 확률의 합이다
두 사건이 독립이면 동시에 일어날 확률은 두 확률의 곱이다. 합은 배반 사건에서 둘 중 하나가 일어날 확률을 구할 때 쓴다.
Q7. 포아송분포의 특징으로 옳은 것은?
- 평균과 분산이 같다
- 음수 값을 가질 수 있다
- 성공 확률이 0.5 로 고정된다
- 연속형 분포다
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1번 평균과 분산이 같다
평균 = 분산 = λ, 0 이상의 정수를 센다.
헷갈리기 쉬운 O·X
연속확률분포의 확률밀도함수 값은 항상 0 과 1 사이다.
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X 넓이(확률)가 1 이하일 뿐 높이는 1 을 넘을 수 있다.
확률이 0 보다 큰 두 사건이 배반이면 두 사건은 독립이다.
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X 하나가 일어나면 다른 하나는 반드시 안 일어나므로 서로 영향을 준다. 독립이 아니다.
t 분포는 자유도가 커질수록 표준정규분포에 가까워진다.
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O