t검정·분산분석·카이제곱·비모수 검정
쉽게 말하면
두 반의 평균 점수가 정말 다른지 볼 때 t검정을 써요. 반이 셋 이상이면 분산분석을 써요. 점수가 아니라 '남녀'와 '찬성·반대'처럼 칸에 사람 수를 세는 자료면 카이제곱 검정을 써요. 데이터가 정규분포를 따른다고 하기 어려우면 순위만 보는 비모수 검정을 써요.
시험용 정의
t검정은 평균을 비교한다. 일표본 t검정은 한 집단의 평균이 특정 값과 같은지, 독립표본 t검정은 서로 다른 두 집단의 평균이 같은지(두 분산이 같다고 보면 합동 분산, 아니면 웰치 검정), 대응표본 t검정은 같은 대상의 전후처럼 짝지은 두 값의 차이 평균이 0 인지 본다. 정규성과 독립성을 가정한다. 분산분석(ANOVA)은 세 집단 이상의 평균이 모두 같은지를 F = 집단 간 평균제곱 / 집단 내 평균제곱으로 검정하며, 요인이 하나면 일원, 둘이면 이원 분산분석이다. 카이제곱 검정은 범주형 자료에서 관측도수와 기대도수의 차이로 적합도(한 변수가 기대 분포를 따르나), 독립성(두 범주형 변수가 관련 있나), 동질성(여러 집단의 분포가 같나)을 검정한다. 비모수 검정은 분포를 가정하지 않고 순위나 부호로 검정한다.
비유로 이해하기
음식 맛 비교다. 한 식당의 짠맛이 기준치와 같은지 보면 일표본, 두 식당을 비교하면 독립표본, 같은 사람이 같은 음식을 소스 넣기 전후로 맛보면 대응표본이다. 식당이 다섯 곳이면 둘씩 열 번 비교하지 않고 분산분석 한 번으로 '다 같나'를 본다. 손님 수를 '좋아요·싫어요' 칸에 세었다면 카이제곱이다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 모수 검정 | 정규분포 같은 분포를 가정하고 평균·분산으로 검정 |
| 비모수 검정 | 분포를 가정하지 않고 순위·부호로 검정 |
| 평균제곱 | 제곱합을 자유도로 나눈 값. 분산분석에서 분산 역할 |
| 기대도수 | 귀무가설이 맞다면 그 칸에 나올 것으로 기대되는 수 |
t검정 세 가지
| 검정 | 언제 | R |
|---|---|---|
| 일표본 | 한 집단 평균 vs 기준값 | t.test(x, mu = 70) |
| 독립표본 | 서로 다른 두 집단 (남녀, 두 반) | t.test(y ~ g), 등분산이면 var.equal = TRUE |
| 대응표본 | 같은 대상 전후, 쌍둥이 짝 | t.test(a, b, paired = TRUE) |
분산분석
- 귀무가설: 모든 집단의 평균이 같다. 대립가설: 적어도 한 집단은 다르다
- F 가 크다 = 집단끼리의 차이가 집단 안의 흩어짐보다 크다
- 자유도: 집단 간 k - 1, 집단 내 N - k, 전체 N - 1 (k 는 집단 수, N 은 전체 관측치)
- 결과가 유의해도 어느 집단이 다른지는 모른다. 사후검정(투키 HSD, 셰페, 본페로니, 던컨, 피셔 LSD)으로 확인한다
- 이원 분산분석은 요인이 두 개이고 두 요인의 교호작용도 볼 수 있다
- 두 집단이면 F = t² (등분산 t검정)
- 가정: 정규성, 등분산성, 독립성
카이제곱 검정
| 검정 | 묻는 것 | 예 |
|---|---|---|
| 적합도 | 한 범주형 변수가 기대한 비율을 따르나 | 주사위 눈이 고르게 나오나 |
| 독립성 | 한 표본의 두 범주형 변수가 서로 관련 있나 | 성별과 구매 여부 |
| 동질성 | 여러 집단의 범주 분포가 같나 | 세 지역의 정당 지지 분포 |
카이제곱 계산과 주의
- 기대도수 = 행 합계 × 열 합계 / 전체 합계
- 통계량 = Σ (관측 - 기대)² / 기대, 자유도 = (행 수 - 1) × (열 수 - 1)
- 2×2 표에서 R 은 기본으로 예이츠 연속성 보정을 한다
- 기대도수가 5 미만인 칸이 많으면 피셔의 정확 검정을 쓴다
- 교차분석은 범주형 변수끼리 쓴다. 연속형은 구간으로 나눠야 한다
비모수 검정
| 상황 | 모수 검정 | 비모수 검정 |
|---|---|---|
| 대응 두 표본 | 대응표본 t | 부호 검정, 윌콕슨 부호순위 검정 |
| 독립 두 표본 | 독립표본 t | 윌콕슨 순위합 검정 = 만-위트니 U 검정 |
| 세 집단 이상 | 일원 분산분석 | 크루스칼-월리스 검정 |
| 반복 측정 세 번 이상 | 반복측정 분산분석 | 프리드먼 검정 |
| 무작위성 | 런 검정 | |
| 상관 | 피어슨 | 스피어만 순위상관 |
시험에 이렇게 나와요
- 비모수 검정 고르기: 윌콕슨, 만-위트니, 런, 크루스칼-월리스, 부호 검정 (t검정은 모수)
- 비모수는 표본이 작거나 분포 가정이 어렵거나 서열 자료일 때. '정규분포에 가까워도 비모수가 항상 더 좋다'는 틀림
- 독립성: 두 범주형 변수 관련성, 동질성: 여러 집단 분포가 같은지, 적합도: 관측 vs 기대
- 교차분석은 연속형 변수에 그대로 쓸 수 없음
- R 출력 읽기: p 0.031 은 0.05 에서 유의하지만 0.01 에서는 아님, 신뢰구간이 0 을 포함하지 않으면 유의
- 분산분석만으로 어느 집단끼리 다른지 알 수 없음 → 사후검정
- 이원분산분석은 요인 두 개 (요인 하나는 일원), 두 집단이면 F = t²
확인 문제
Q1. 같은 환자 10명에게 약 A 와 약 B 를 차례로 먹이고 수면 시간을 쟀다. 두 약의 효과 차이를 보는 알맞은 검정은?
- 대응표본 t검정
- 독립표본 t검정
- 카이제곱 독립성 검정
- 일원 분산분석
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1번 대응표본 t검정
같은 사람을 두 번 잰 짝지은 자료라서 대응표본 t검정이다. 사람마다의 차이를 빼고 약 효과만 본다.
Q2. 다음 중 비모수 검정이 아닌 것은?
- 독립표본 t검정
- 윌콕슨 부호순위 검정
- 크루스칼-월리스 검정
- 만-위트니 U 검정
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1번 독립표본 t검정
t검정은 정규성을 가정하는 모수 검정이다.
Q3. 네 가지 교육 방법의 평균 점수를 한 번에 비교하는 알맞은 방법은?
- 일원 분산분석
- 피어슨 상관분석
- 카이제곱 적합도 검정
- 대응표본 t검정
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1번 일원 분산분석
요인 하나(교육 방법), 집단 넷이면 일원 분산분석이다.
Q4. 2 × 3 교차표로 독립성 검정을 할 때 자유도는?
- 1
- 2
- 5
- 6
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2번 2
(2 - 1) × (3 - 1) = 2.
Q5. 독립표본 t검정 결과 p = 0.031 이다. 옳지 않은 해석은?
- 유의수준 0.05 에서 평균 차이가 유의하다
- 두 집단 평균이 같다는 귀무가설을 5% 에서 기각한다
- 유의수준 0.01 에서도 귀무가설을 기각한다
- 평균 차이의 95% 신뢰구간은 0 을 포함하지 않는다
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3번 유의수준 0.01 에서도 귀무가설을 기각한다
0.031 > 0.01 이라 1% 에서는 기각하지 못한다.
Q6. 분산분석 결과 p < 0.05 였다. 다음으로 알맞은 것은?
- 사후검정으로 어느 집단이 다른지 확인한다
- 모든 집단의 평균이 같다고 결론 낸다
- 모든 집단이 서로 다르다고 결론 낸다
- 카이제곱 검정을 다시 한다
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1번 사후검정으로 어느 집단이 다른지 확인한다
분산분석은 '적어도 하나가 다르다'까지만 알려 준다.
Q7. 합계가 행 40·60, 열 50·50 인 2×2 표(전체 100)에서 첫 칸의 기대도수는?
- 20
- 25
- 40
- 50
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1번 20
40 × 50 / 100 = 20.
헷갈리기 쉬운 O·X
모집단이 정규분포에 가까우면 비모수 검정이 모수 검정보다 항상 더 좋다.
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X 가정이 맞으면 모수 검정의 검정력이 더 높다.
이원 분산분석은 독립변수(요인)가 하나일 때 쓰는 방법이다.
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X 요인이 둘이다. 하나면 일원.
두 집단만 비교하는 분산분석의 F 통계량은 등분산 t검정 t 통계량의 제곱과 같다.
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O