시계열 분석
쉽게 말하면
매달 매출, 매일 기온처럼 시간 순서대로 쌓인 데이터를 시계열이라 해요. 앞날을 예측하려면 데이터의 성질이 시간이 지나도 비슷해야(정상성) 해요. 매출이 계속 오르기만 하면 평균이 변하니, 전달과의 차이(차분)를 보면 성질이 안정돼요.
시험용 정의
시계열은 시간 순서대로 관측한 자료다. 시계열 모형은 정상성을 가정한다. 정상 시계열은 ① 평균이 모든 시점에서 일정하고 ② 분산이 시점에 의존하지 않으며 ③ 두 시점의 공분산이 시점이 아니라 시차(얼마나 떨어졌나)에만 의존한다. 정상이 아니면 평균이 변할 때 차분(Zt - Zt-1), 분산이 변할 때 변환(로그·제곱근)으로 정상화한다. 대표 모형은 현재 값을 과거 관측값의 선형결합으로 나타내는 자기회귀 AR(p), 현재와 과거 오차항의 선형결합으로 나타내는 이동평균 MA(q), 둘을 합친 ARMA(p, q), 차분까지 포함한 ARIMA(p, d, q) 다. 시계열을 성분으로 나누는 분해시계열은 추세·계절·순환·불규칙 요인으로 나눈다.
비유로 이해하기
놀이공원 입장객 수다. 해마다 조금씩 늘어나는 흐름이 추세, 여름방학마다 붐비는 것이 계절, 몇 년에 한 번 경기가 좋아지고 나빠지며 생기는 굴곡이 순환, 갑자기 비가 와서 줄어든 날이 불규칙 요인이다. 해마다 늘어나는 숫자 대신 '작년보다 몇 명 늘었나'(차분)를 보면 그 숫자는 매년 비슷해진다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 시차 (lag) | 두 관측 시점 사이의 간격. lag 1 은 바로 앞 |
| 자기상관 (ACF) | 시계열과 시차만큼 밀린 자기 자신의 상관 |
| 부분자기상관 (PACF) | 중간 시점의 영향을 뺀 뒤 남는 자기상관 |
| 백색잡음 | 평균 0, 분산 일정, 서로 상관없는 순수한 잡음. 정상 시계열이다 |
| 차분 | 이웃한 관측값의 차이 Zt - Zt-1 |
정상성 확보
| 문제 | 해결 |
|---|---|
| 평균이 일정하지 않음 (추세) | 차분 |
| 분산이 일정하지 않음 (갈수록 출렁임이 커짐) | 로그·제곱근 같은 변환 |
| 계절성 | 계절 차분 (12개월 전과의 차이) |
정상성으로 헷갈리는 말
- '각 관측값이 서로 독립이다'는 정상성 조건이 아니다. 정상 시계열도 자기상관이 있을 수 있다
- '자기상관이 시간이 갈수록 반드시 줄어든다'도 조건이 아니다
- 평활화(이동평균, 지수평활)는 변동을 부드럽게 할 뿐 정상성을 보장하지 않는다
- 추세가 있는 자료는 로그 변환만으로 정상이 되지 않는다
- 분산이 변하는 문제는 차분이 아니라 변환으로 푼다
AR·MA·ARMA·ARIMA
| 모형 | 식 | ACF | PACF |
|---|---|---|---|
| AR(p) | Zt = φ1Zt-1 + … + φpZt-p + at | 천천히 줄어듦 | p 시차 뒤 절단 (0 근처) |
| MA(q) | Zt = at - θ1at-1 - … - θqat-q | q 시차 뒤 절단 | 천천히 줄어듦 |
| ARMA(p, q) | AR 항 + MA 항 | 천천히 줄어듦 | 천천히 줄어듦 |
| ARIMA(p, d, q) | d 번 차분한 시계열이 ARMA(p, q) |
ARIMA 정리
- p 는 자기회귀 차수, d 는 차분 차수, q 는 이동평균 차수
- 정상화가 먼저다. 차분 차수 d 를 정한 뒤 ACF·PACF 로 p, q 를 정한다
- d = 0 이면 ARMA(p, q), p = 0 이면 IMA(d, q), q = 0 이면 ARI(p, d)
- AR·MA 모형 모두 정상 시계열을 가정한다
- 예: PACF 가 시차 3 뒤에 끊기고 ACF 가 천천히 줄면 AR(3) = ARMA(3, 0)
분해시계열 요인
| 요인 | 뜻 | 기간 |
|---|---|---|
| 추세 요인 | 오르거나 내리는 일정한 방향 | 장기 |
| 계절 요인 | 요일·월·분기처럼 고정된 주기로 반복 | 단기 (1년 안) |
| 순환 요인 | 경기 변동처럼 주기가 알려지지 않은 굴곡 | 중장기 (몇 년) |
| 불규칙 요인 | 위 셋으로 설명되지 않는 우연한 변동, 오차 | 무작위 |
시험에 이렇게 나와요
- 정상성: 평균 일정, 분산 일정, 공분산은 시차에만 의존 ('관측값이 서로 독립', '자기상관이 반드시 감소', '공분산이 시점에 의존'은 틀림)
- 정상화: 평균 → 차분, 분산 → 변환 (이상치 제거·구간 분할·정규화·군집화·지수평활·선형회귀는 아님)
- 백색잡음은 정상 시계열 ('비정상'이라 하면 틀림)
- AR·MA 모두 정상성 가정, MA 는 현재와 과거 오차항의 선형결합, AR 식은 Zt = φ1Zt-1 + φ2Zt-2 + at
- ARIMA(p, d, q): 차분 차수를 먼저 정해 정상화 ('AR 차수를 먼저'는 틀림)
- ACF·PACF 로 모형 고르기: PACF 가 시차 3 뒤 절단 → AR(3)
- 분해 요인: 추세·계절·순환·불규칙 ('규칙요인' 없음), 순환은 주기가 알려지지 않음, 불규칙은 장기 아님, 추세는 무작위 반복 아님
확인 문제
Q1. 평균이 시간에 따라 계속 올라가는 시계열을 정상 시계열로 바꾸는 가장 알맞은 방법은?
- 차분
- 구간 분할
- 이상치 제거
- 군집화
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1번 차분
이웃한 값끼리 빼는 차분을 하면 추세가 사라져 평균이 일정해진다. 분산이 커지는 문제는 로그 같은 변환으로 푼다.
Q2. 정상 시계열의 조건으로 옳지 않은 것은?
- 평균이 모든 시점에서 일정하다
- 각 관측값이 서로 독립이다
- 분산이 시점에 의존하지 않는다
- 공분산은 시차에만 의존한다
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2번 각 관측값이 서로 독립이다
정상 시계열도 자기상관이 있을 수 있다. 독립은 조건이 아니다.
Q3. 시간이 갈수록 출렁임(분산)이 커지는 시계열을 정상화하는 방법은?
- 구간 분할
- 로그 변환
- 이상치 제거
- 1차 차분
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2번 로그 변환
분산 문제는 변환, 평균 문제는 차분이다.
Q4. 이동평균(MA) 모형은 현재 값을 무엇의 선형결합으로 나타내는가?
- 과거와 현재의 관측값
- 미래의 오차항
- 과거의 관측값
- 현재와 과거의 오차항
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4번 현재와 과거의 오차항
Zt = at - θ1at-1 - … 꼴이다.
Q5. ARIMA(1, 2, 0) 에 대한 설명으로 옳은 것은?
- 두 번 차분하면 AR(1) 모형이 된다
- 한 번 차분하면 MA(2) 가 된다
- 차분 없이 ARMA(1, 2) 다
- 이동평균 차수가 1 이다
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1번 두 번 차분하면 AR(1) 모형이 된다
d = 2, p = 1, q = 0.
Q6. 분해시계열에서 경기 변동처럼 주기가 알려지지 않은 중장기 변동은?
- 불규칙 요인
- 추세 요인
- 계절 요인
- 순환 요인
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4번 순환 요인
고정 주기면 계절, 알려지지 않은 주기면 순환이다.
Q7. ACF 는 천천히 줄어들고 PACF 는 시차 2 뒤에 0 근처로 끊긴다. 알맞은 모형은?
- MA(2)
- 백색잡음
- AR(2)
- ARMA(2, 2)
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3번 AR(2)
PACF 가 끊기는 시차가 AR 차수다.
헷갈리기 쉬운 O·X
백색잡음은 대표적인 비정상 시계열이다.
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X 평균 0, 분산 일정, 자기상관 0 인 정상 시계열이다.
AR 모형과 MA 모형은 모두 정상성을 가정한다.
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O
순환 요인은 알려진 고정 주기로 반복되는 변동이다.
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X 고정 주기는 계절 요인이다. 순환 요인은 주기가 알려지지 않았다.