표본분포와 추정
쉽게 말하면
표본을 뽑을 때마다 평균은 조금씩 달라요. 그래도 표본을 많이 모으면 표본평균들은 진짜 평균 근처에 종 모양으로 모여요. 그래서 '평균 키는 172cm'처럼 한 값으로 말하기도 하고(점추정), '95% 신뢰도로 170~174cm 사이'처럼 범위로 말하기도 해요(구간추정).
시험용 정의
모수를 표본으로 짐작하는 것을 추정이라 한다. 표본을 다시 뽑으면 통계량도 달라지는데, 같은 크기의 표본을 반복해 뽑았을 때 통계량이 이루는 분포를 표본분포라 한다. 중심극한정리에 따르면 모집단 분포가 무엇이든 표본 크기 n 이 충분히 크면(보통 30 이상) 표본평균의 분포는 평균 μ, 표준편차 σ / √n 인 정규분포에 가까워진다. 이 σ / √n 을 표준오차라 한다. 모수를 하나의 값으로 추정하면 점추정, 범위로 추정하면 구간추정이다. 구간추정의 신뢰수준 95% 는 같은 방법으로 구간을 100번 만들면 그중 약 95개가 모수를 포함한다는 뜻이다.
비유로 이해하기
과녁에 그물 던지기다. 모수는 과녁 한가운데 고정된 점이고, 신뢰구간은 매번 던지는 그물이다. 95% 신뢰수준은 '이 방법으로 던진 그물 100개 중 95개가 점을 덮는다'는 뜻이다. 한번 던진 그물은 점을 덮었거나 못 덮었거나 둘 중 하나다. 그물을 넓게 만들면(신뢰수준↑) 더 자주 덮지만 덜 정확하고, 표본을 늘리면 좁은 그물로도 잘 덮는다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 |
|---|---|
| 추정량 | 모수를 추정하는 규칙 (표본평균 x̄) |
| 표본분포 | 표본을 반복해 뽑을 때 통계량이 이루는 분포 |
| 표준오차 | 추정량의 표준편차. 표본평균이면 σ / √n (σ 를 모르면 s / √n) |
| 신뢰수준 | 같은 방법으로 만든 구간 중 모수를 포함하는 비율 (90%, 95%, 99%) |
중심극한정리
- 표본평균의 분포에 대한 정리다. 개별 값의 분포가 정규분포가 된다는 말이 아니다
- 모집단이 정규분포일 필요는 없다. 단, 모집단이 비대칭일수록 더 큰 표본이 필요하다
- 표본평균 분포의 평균은 μ, 표준편차(표준오차)는 σ / √n
- 표본평균은 표본마다 달라진다. 다시 뽑아도 항상 같은 값이 나오지 않는다
좋은 추정량의 조건
| 조건 | 뜻 |
|---|---|
| 불편성 | 추정량의 기댓값이 모수와 같다. 표본평균, n - 1 로 나눈 표본분산 |
| 효율성 | 불편추정량 중 분산이 작을수록 좋다 |
| 일치성 | 표본이 커질수록 모수에 가까워진다 |
| 충족성 | 모수에 대한 표본의 정보를 모두 담는다 |
신뢰구간 만들기
모평균의 신뢰구간은 x̄ ± (임계값) × 표준오차 다. 모표준편차를 알면 정규분포 임계값(95% 면 1.96, 99% 면 2.58)을, 모르면 자유도 n - 1 인 t 분포 임계값을 쓴다.
- 신뢰수준↑ → 임계값↑ → 구간 넓어짐 (정밀도는 떨어짐)
- 표본 크기↑ → 표준오차↓ → 구간 좁아짐
- '계산한 이 구간에 모수가 들어 있을 확률이 95%' 라는 말은 엄밀히는 틀린 해석이다. 모수는 고정된 값이고 확률적인 것은 구간을 만드는 방법이다
시험에 이렇게 나와요
- 중심극한정리: 모집단이 정규분포일 필요 없음, 표본평균에 대한 정리, 비대칭일수록 큰 n 필요
- 표본평균은 모평균의 불편추정량, n 커지면 표준오차 감소, 표본평균은 표본마다 다름
- 신뢰수준↑ → 구간 넓어짐, n↑ → 구간 좁아짐
- '신뢰수준 = 주어진 구간에 모수가 포함될 확률'은 틀린 해석으로 출제됨
- 점추정은 한 값, 구간추정은 범위
확인 문제
Q1. 표본 크기를 100 에서 400 으로 늘리면 표본평균의 표준오차는 어떻게 될까?
- 절반이 된다
- 두 배가 된다
- 변하지 않는다
- 4분의 1 이 된다
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1번 절반이 된다
표준오차는 σ / √n 이다. n 이 4배면 √n 은 2배라서 표준오차는 절반이 된다.
Q2. 중심극한정리에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
- 모집단이 반드시 정규분포여야 한다
- 표본이 커질수록 정규분포에 가까워진다
- 모집단이 비대칭일수록 더 큰 표본이 필요하다
- 표본평균의 분포에 대한 정리다
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1번 모집단이 반드시 정규분포여야 한다
모집단 분포와 관계없이 성립하는 것이 핵심이다.
Q3. 모표준편차가 12 이고 표본 크기가 36 일 때 표본평균의 표준오차는?
- 12
- 1/3
- 6
- 2
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4번 2
12 / √36 = 12 / 6 = 2.
Q4. 다른 조건이 같을 때 신뢰구간의 폭을 좁히는 방법은?
- 표본 크기를 늘린다
- 표준편차가 큰 표본을 쓴다
- 표본 크기를 줄인다
- 신뢰수준을 99% 로 높인다
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1번 표본 크기를 늘린다
표본이 크면 표준오차가 줄어 구간이 좁아진다.
Q5. 추정량의 기댓값이 모수와 같은 성질은?
- 효율성
- 일치성
- 충족성
- 불편성
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4번 불편성
불편성이다. 평균적으로 치우치지 않는다는 뜻이다. 효율성은 분산이 작은 성질, 일치성은 표본이 커질수록 모수에 가까워지는 성질이다.
Q6. 같은 모집단에서 크기 30 인 표본을 다시 뽑았을 때에 대한 설명으로 옳은 것은?
- 표본평균은 항상 처음과 같다
- 표본평균이 처음과 다를 수 있다
- 모평균이 바뀐다
- 표준오차가 0 이 된다
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2번 표본평균이 처음과 다를 수 있다
표본마다 통계량은 달라진다. 그 흔들림이 표본분포다.
헷갈리기 쉬운 O·X
신뢰수준을 95% 에서 99% 로 높이면 신뢰구간은 좁아진다.
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X 더 넓어진다.
중심극한정리는 표본 하나하나의 값이 정규분포를 따르게 된다는 뜻이다.
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X 표본 '평균'의 분포가 정규분포에 가까워진다는 뜻이다.
n - 1 로 나눈 표본분산은 모분산의 불편추정량이다.
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O