통계의 기초: 표본추출과 척도
쉽게 말하면
학교 전체 학생의 키를 모두 재기는 힘들어요. 그래서 일부만 뽑아 재고 전체를 짐작해요. 전체가 모집단, 뽑은 일부가 표본이에요. 어떻게 뽑느냐에 따라 결과가 믿을 만해지기도, 치우치기도 해요. 또 '혈액형'처럼 이름만 붙인 값과 '몸무게'처럼 몇 배인지 말할 수 있는 값은 계산할 수 있는 것이 달라요.
시험용 정의
알고 싶은 대상 전체를 모집단, 그중 실제로 조사하는 일부를 표본이라 한다. 모집단의 평균·분산처럼 모집단을 나타내는 값은 모수, 표본으로 계산한 평균·분산·표준편차는 통계량이다. 표본을 뽑는 확률적 방법에는 모든 개체가 같은 확률로 뽑히는 단순무작위추출, 번호를 매기고 일정 간격으로 뽑는 계통추출, 모집단을 서로 다른 층으로 나눠 층마다 뽑는 층화추출, 모집단을 여러 집락으로 나눠 일부 집락을 통째로 뽑는 집락추출이 있다. 측정한 값의 성격은 척도로 나눈다. 명목척도(이름), 서열척도(순서), 등간척도(구간척도, 간격이 같음), 비율척도(절대 0이 있음)다.
비유로 이해하기
국 간 보기다. 냄비 전체가 모집단, 숟가락에 뜬 국물이 표본이다. 잘 저은 뒤 한 숟가락 뜨면 단순무작위추출이다. 건더기 층, 국물 층을 따로 떠 보면 층화추출이다. 냄비를 여러 그릇에 고르게 나눠 담고 그중 한 그릇을 다 먹어 보면 집락추출이다. 숟가락이 아무리 커도 간을 보는 사람의 혀가 둔하면(비표본오차) 소용없다.
자세히
먼저 알아 둘 말
| 말 | 뜻 | 예 |
|---|---|---|
| 모집단 | 알고 싶은 대상 전체 | 전국 고등학생 |
| 표본 | 실제로 조사한 일부 | 뽑힌 1,000명 |
| 모수 | 모집단의 특성 값 (보통 모름) | 전국 고등학생의 평균 키 μ |
| 통계량 | 표본으로 계산한 값 | 1,000명의 평균 키 x̄ |
| 전수조사 | 모집단 전체를 조사 | 인구 총조사 |
표본추출 방법
| 방법 | 어떻게 | 주의 |
|---|---|---|
| 단순무작위추출 | 모든 개체가 같은 확률로 뽑힘 (추첨) | N 개 중 n 개를 비복원으로 뽑으면 각 개체가 뽑힐 확률은 n/N |
| 계통추출 | 번호를 매기고 무작위 시작점부터 k 번째마다 | 명단에 주기가 있으면 치우칠 수 있음 |
| 층화추출 | 층 안은 비슷하게, 층끼리는 다르게 나눠 층마다 추출 | 성별·연령대처럼 결과에 영향 주는 기준으로 층을 나눔 |
| 집락추출 | 집락 안은 섞이게(모집단의 축소판), 집락끼리는 비슷하게 나눠 일부 집락을 통째로 | 집락 내부가 동질적이면 오히려 대표성이 떨어짐 |
척도 네 가지
| 척도 | 뜻 | 할 수 있는 계산 | 예 |
|---|---|---|---|
| 명목척도 | 구분하는 이름표 | 같다·다르다, 빈도 | 성별, 혈액형, 거주 지역(수도권·비수도권) |
| 서열척도 | 순서가 있음, 간격은 같지 않음 | 크다·작다, 순위 | 만족도(매우 불만~매우 만족), 학년, 등급 |
| 등간척도 (구간척도) | 간격이 같지만 절대 0이 없음 | 덧셈·뺄셈 | 섭씨온도, 연도, 시각 |
| 비율척도 | 절대 0이 있음 | 사칙연산, '두 배' 말하기 가능 | 몸무게, 키, 나이, 소득, 거리 |
표본오차와 비표본오차
| 표본오차 | 비표본오차 | |
|---|---|---|
| 원인 | 표본이 모집단을 완벽히 대표하지 못해서 | 조사·측정·입력·집계 실수, 응답 거부, 질문 잘못 |
| 표본 크기를 늘리면 | 대체로 줄어든다 | 줄지 않는다. 조사할 사람이 많아져 커질 수도 있다 |
| 전수조사에서 | 없다 | 생길 수 있다 |
더 깊게: 둘이 함께 뽑힐 확률
1번부터 100번 가운데 10개를 비복원으로 무작위 추출하면 각 개체가 뽑힐 확률은 10/100 이다. 1번과 2번이 둘 다 뽑힐 확률은 (10/100) × (9/99) = 1/110 이다. 1/100 이 아니다. 대신 어떤 두 개체를 골라도 같은 값이라 1번·2번이 함께 뽑힐 확률과 99번·100번이 함께 뽑힐 확률은 같다.
시험에 이렇게 나와요
- 계통추출: 번호 부여 → 무작위 시작점 → 일정 간격
- 층화: 층 내 동질·층 간 이질, 집락: 집락 내 이질·집락 간 동질 ('집락 내부를 동질적으로'는 틀림)
- 절대 영점 있는 척도 → 비율척도, 영점 없이 덧셈·뺄셈만 → 등간(구간)척도
- 거주 지역·혈액형은 명목, 만족도 등급은 서열, 몸무게·나이는 비율
- 표본으로 계산한 평균·분산 → 통계량, 모집단 값 → 모수
- 비표본오차는 표본 크기를 늘려도 줄지 않음, 표본추출로 비표본오차를 최소화한다는 틀림
확인 문제
Q1. 명단에 번호를 붙이고, 처음 한 명을 무작위로 고른 뒤 10번째마다 한 명씩 뽑는 방법은?
- 층화추출
- 집락추출
- 계통추출
- 단순무작위추출
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3번 계통추출
번호를 매기고 일정 간격으로 뽑으면 계통추출이다. 시작점은 무작위로 정한다.
Q2. 모집단을 서로 다른 성격의 층으로 나누고 각 층에서 표본을 뽑는 방법은?
- 편의추출
- 층화추출
- 집락추출
- 계통추출
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2번 층화추출
층 안은 비슷하고 층끼리는 다르게 나누는 것이 층화추출이다.
Q3. 절대적인 0이 있어 '두 배 무겁다'고 말할 수 있는 척도는?
- 비율척도
- 명목척도
- 등간척도
- 서열척도
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1번 비율척도
몸무게 0 은 무게가 없다는 뜻이라 비율 계산이 의미 있다.
Q4. 섭씨온도는 어떤 척도인가?
- 명목척도
- 비율척도
- 등간척도
- 서열척도
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3번 등간척도
0도가 '온도 없음'이 아니라서 20도가 10도의 두 배로 덥다고 할 수 없다. 간격만 같다.
Q5. 표본조사의 오차에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?
- 비표본오차는 입력·집계 실수로도 생긴다
- 표본 크기를 늘리면 표본오차는 대체로 줄어든다
- 비표본오차는 표본 크기를 늘리면 함께 줄어든다
- 표본오차는 표본이 모집단을 완전히 대표하지 못해 생긴다
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3번 비표본오차는 표본 크기를 늘리면 함께 줄어든다
비표본오차는 표본 크기와 관계없이 생긴다.
Q6. 집락추출에 대한 설명으로 옳은 것은?
- 번호 순서대로 일정 간격으로 뽑는다
- 집락 안이 최대한 동질적이도록 나눈다
- 모든 집락에서 같은 수를 뽑는다
- 집락 안은 모집단처럼 다양하게 섞이고, 일부 집락을 통째로 조사한다
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4번 집락 안은 모집단처럼 다양하게 섞이고, 일부 집락을 통째로 조사한다
집락은 모집단의 축소판이어야 한다. 모든 층에서 뽑는 것은 층화, 일정 간격은 계통.
Q7. 표본에서 계산한 평균, 분산, 표준편차를 무엇이라 하는가?
- 척도
- 모수
- 전수조사
- 통계량
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4번 통계량
모집단의 값은 모수, 표본의 값은 통계량.
헷갈리기 쉬운 O·X
1~100번에서 10개를 비복원 단순무작위추출할 때 1번과 2번이 함께 뽑힐 확률은 1/100 이다.
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X 10/100 × 9/99 = 1/110 이다.
고객 만족도 '매우 불만족 ~ 매우 만족' 5단계는 비율척도다.
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X 순서만 있는 서열척도로 본다.
전수조사를 하면 비표본오차도 사라진다.
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X 표본오차는 사라지지만 조사·입력 실수 같은 비표본오차는 남는다.